Академия наук Норвегии присудила Абелевскую Премию за 2006 год шведскому математику Леннарту Карлесону (родился 18 марта 1928 года в Стокгольме) из Королевского института технологии «за глубокий и плодотворный вклад в гармонический анализ и теорию гладких динамических систем». Наградой отмечена классическая работа Карлесона, в которой найдено строгое доказательство гипотезы, высказанной французским математиком и инженером Жаном-Батистом Фурье почти два века назад.
Постановка задачи
В 1807 - 1811 годах французский математик Жан-Батист-Иосиф Фурье (1768-1830) написал классический труд «Аналитическая теория теплоты» (работа была опубликована в 1822 году). Предметом исследование было уравнение теплопроводности. Фурье использовал для поиска решения метод разложения функций в тригонометрические ряды. Он не был первым математиком, который использовал эту технику (формулы для коэффициентов разложения функции в тригонометрический ряд использовал уже Леонард Эйлер (1707 – 1783) в 1777 году), но именно имя Фурье связывается с тригонометрическими рядами, которые получили в работах его учеников название «ряды Фурье». С помощью этих рядов Фурье получил представление большого числа функций, и даже высказал предположение, что с их помощью можно представить «"совершенно произвольные функции", составленные из закономерно устроенных " кусков"» (Феликс Клейн «Лекции о развитии математики в XIX столетии»).
Каждый звук – это «аккорд камертонов»
Задачу, поставленную Фурье, можно примерно описать следующим образом. Возьмем бесконечное количество камертонов, каждый из которых звучит на определенной ноте с определенной силой звука. В нашем случае каждый камертон – это чистый звуковой сигнал или гармоническая функция (синус или косинус). А сила звука – это амплитуда гармонических колебаний. Фурье предположил, что любой звук, сколь бы сложен и замысловат он ни был, можно представить, как одновременное звучание бесконечного числа камертонов. Возможность использовать вместо очень сложных функций простейшие гармонические зависимости стала одним из мощнейших инструментов многих разделов математической теории и прикладных вычислений. Но математики использовали этот инструмент без достаточных на то оснований. И чувствовали себя довольно неуютно, поскольку доказательства своего предположения Фурье не дал.
Удивительный ответ Карлесона
В 1915 году русский математик Николай Лузин (1883 – 1950) постарался строго определить все функции, представимые в виде рядов Фурье. Он сформулировал следующую проблему: существуют ли функции с интегрируемым квадратом, для которых ряд Фурье расходится на множестве положительной меры? Проблема оказалась очень трудной. В 1926 году великий русский математик Андрей Колмогоров (1903 – 1987) доказал, что существует такая интегрируемая функция, чей ряд Фурье расходится всюду. После того как был получен замечательный колмогоровский результат, казалось, что вот-вот и пример функции с интегрируемым квадратом, чей ряд Фурье всюду расходится, также будет получен. Каково же было удивление математиков всего мира, когда в 1966 году Леннарт Карлесон, доказал что таких функций нет, и тем самым дал ответ на вопрос, поставленный Фурье: какие же именно функции можно представить в виде бесконечной суммы гармонических колебаний.
Абелевская премия
Присуждаемая норвежской Академией наук ежегодная награда носит имя гениального норвежского математика Нильса-Хенрика Абеля. Ее размер в денежном выражении составляет в 2006 году 920 тысяч долларов. В 2006 году премия будет вручена только в четвертый раз, так что ее сравнение с «Нобелевской» пока несколько преувеличено. Этой премии только предстоит завоевать авторитет среди ученых, в том числе и среди математиков. Вероятнее всего, в ближайшие годы премия будет вручаться только таким ученым, чьи заслуги общепризнанны. Леннарт Карлесон к ним, безусловно, относится.
Торжественная церемония вручения награды состоится 23 мая в Осло в присутствии короля Норвегии Харальда.
