Ссылки для упрощенного доступа

logo-print

История доказательства проблемы Пуанкаре


Ирина Лагунина: В 2000 году американский Институт Клэя назвал семь важнейших математических проблем нового тысячелетия. За решение каждой из них была объявлена премия в 1 миллион долларов. В марте 2010 года Институт Клэя сообщил о том, что доказана первая из семи проблем – гипотеза Пуанкаре. Однако в 2006 году автору доказательства, российскому математику Григорию Перельману, за этот же самый результат уже была присуждена высшая математическая награда – медаль Филдса. Почему на признание доказательства у Института Клэя ушло более 4 лет? Об этом Ольга Орлова попросила рассказать члена-корреспондента РАН, главного научного сотрудника Математического института им. Стеклова Виктора Бухштабера.

Ольга Орлова: Виктор Матвеевич, не так давно в эфире Радио Свобода вы комментировали доказательство гипотезы Пуанкаре, представленное Григорием Перельманом. Но некоторые наши слушатели в комментариях на сайте Радио Свобода удивлялись: как же так получилось, что результат Григорий показал лет десять назад, затем в 2006 году ему присудили Филдсовскую медаль, но только спустя еще четыре года, в 2010 году институт Клэя решает вручить премию миллион долларов и признать верным его доказательство. Вроде бы такой блестящий результат, но почему такое длительное признание? Это нормальная ситуация?

Виктор Бухштабер: Давайте пока мы разделим признание результата как свершившийся факт, и второе - уже решение о награждении Григория самой престижной для математиков наградой - медалью Филдса. Напомню, что речь идет о проблеме Пуанкаре. Я думаю, многие со мной согласятся, что основателем топологии является именно Пуанкаре. Конечно, замечательные топологические результаты были получены Эйлером, и одна из самых известных теорем в топологии носит имя Эйлера-Пуанкаре. Но, тем не менее, настоящая история топологии началась с 1895 года, когда Пуанкаре опубликовал статью "Analysis situs". (В 1972 году эта статья была опубликована в России в трехтомнике избранных трудов Пуанкаре в серии "Классики науки"). Это большая статья, более ста страниц. Начинается она примерно так: "Геометрия многих переменных связана с реальным миром. Сейчас это признано". Заметим, Пуанкаре это писал еще в 19 веке.То есть он уже тогда понимал эту важнейшую связь. И дальше он начинает объяснять такое понятие, как многообразие. И сейчас мы считаем, что с именно этой работы и началось то, что теперь называется топологией.

Пуанкаре апеллирует к классической механике, к алгебраической геометрии, но описывает многообразие. Понятие многообразия легко объяснить даже человеку, который только-только начинает задумываться, чем занимаются математики. Есть трехмерное многообразие, которое локально неотличимо от геометрии нашего обыденного мира. А вот дальше многообразие возникает из-за того, что мы правильно склеиваем кусочки и тогда, оказывается, локально все трехмерные разнообразия устроены одинаково, а глобально можем строить многообразия, которые топологически не эквивалентны. Пуанкаре предложил некоторый критерий, по которому можно было бы отличить трехмерное многообразие от трехмерной сферы. После этого было множество публикаций по доказательству этой гипотезы. Были также публикации о том, что нельзя доказать гипотезу Пуанкаре.

Ольга Орлова: За прошедшее столетие к этой проблеме обращались многие ученые, в том числе и выдающиеся?

Виктор Бухштабер: Да. Так вот, проблема Пуанкаре для нашей обычной двумерной сферы (это поверхность шарика), доказывается довольно просто. В высоких размерностях, начиная с пяти, тоже была доказана. Этот результат был получен выдающимся математиком Смейлом в 60-х годах. Размерность четыре оказалась более специфической, но тоже была доказана в 1982 году Фридманом. Оставалась проблема в размерности три, на которую именнно и указывал сам Пуанкаре. Ее решил в итоге Перельман.

Ольга Орлова: Когда впервые об этом стало известно?

Виктор Бухштабер: У меня с этим связаны такие воспоминания. Довольно давно, году в 96-98-ом я был с визитом в Мэриленде, а Григорий сделал доклад в Массачусетском технологическом институте - это один из ведущих мировых центров математики. После доклада посыпались звонки из MIT: насколько можно доверять тому, что говорит Перельман?

Ольга Орлова: Чем было вызвано недоверие?

Виктор Бухштабер: Потому что топологическая проблема была решена не топологическими методами, используя идеи, которые пришли со стороны. Это были идеи теории уравнений частных производных, а в самом ключевом месте были использованы идеи, пришедшие из теоретической физики. Поэтому когда нас стали спрашивать, насколько достоверно то, что предлагает Григорий Перельман, мы не могли однозначно ответить. Но так как мы знали Григория как глубокого математика, то было понятно, что его заявка на решение проблемы Пуанкаре вполне серьезна. Однако по той информации, которая до нас доходила, сразу это невозможно было сказать.

Ольга Орлова: Мне кажется, это очень важный момент. Дело в том, что вокруг истории с Перельманом было много разговоров о том, что он не был принят именно отечественными математиками, что именно в России он был отвергнут. Вы сейчас уже нам рассказали о том, что Григорий Перельман, во-первых, делал доклад в Массачусетском технологическом институте.

Виктор Бухштабер: А до этого он делал доклад в Нью-Йорке.

Ольга Орлова: Как я понимаю, его доклад привлек внимание всего математического сообщества. Это очень важно, в частности, для тех слушателей и читателей нашего сайта, которые писали, что Григория Перельмана не выпускают за границу.

Виктор Бухштабер: В таком случае я предлагаю им хотя бы набрать "Григорий Перельман" в "Википедии". Там можно узнать, что большой отрезок жизни он провел на Западе.

Ольга Орлова: Он проработал довольно долго в США. Известно, почему он вернулся в Россию?

Виктор Бухштабер: Понимаете.... Григорий - это такая замкнутая сфера. Мы не можем в него заглянуть. Вероятно, у него были мотивы...

Ольга Орлова: Во всяком случае, в тот момент, когда он впервые стал излагать свои идеи, уже тогда они были приняты настороженно, потому что были слишком необычными, так? Вообще, когда человек в науке предлагает что-то совсем новое, это естественным образом заставляет насторожиться. Так устроено скептическое и критическое мышление ученого?

Виктор Бухштабер: Конечно. Ну представьте себе, что вы считаете себя специалистом в определенной области. А к вам приходит человек из другой области и говорит: я знаю как решить твою задачу. Естественно, это настораживает.

Ольга Орлова: Поэтому потребовался долгий период, чтобы проверить доказательство?

Виктор Бухштабер: Да, теперь о том, что представляла собой проверка. (Я вынужден употреблять некоторые математические термины, но если я их употреблю, считайте, что это просто междометия, больше ничего.) Дело в том, что много лет назад американский математик Ричард Гамильтон предложил идею, связанную с таким понятием, как поток Риччи. Это была программа, которая предлагала исследовать многообразия по тому, как ведут себя потоки Риччи на этих многообразиях. Я слышал, что как только Григорий узнал о таком инструменте, как потоки Риччи, он дал знать Гамильтону о том, что у него есть идея, как решить проблему Пуанкаре. Но Гамильтон ему не поверил. Однако потом все-таки оказалось, что в самом деле, используя замечательный метод потоков Риччи, Григорий развил совершенно нестандартную технику, которая позволила использовать потоки Риччи для решения проблемы Пуанкаре. Кстати впоследствии именно Ричард Гамильтон представлял широкой математической общественности идеи доказательства, полученные Перельманом.
Я помню, несколько лет назад, когда я был в Бристоле, я слышал доклады не на топологическую тему, а именно о приложениях, в которых использовались результаты Перельмана о потоках Риччи.

Ольга Орлова: Но в начале 2000-х годов были такие разговоры о том, что то доказательство, которое представил Перельман, было недостаточным. И там есть ряд серьезных пробелов, которые нуждаются в ликвидации. И, кажется, на их ликвидацию были брошены целые математические отряды?

Виктор Бухштабер: А теперь как раз стоит перейти к премии Клэя. Дело в том, что есть правила, по которым человек может претендовать на эту премию и получить ее. Так вот, в положении о премии Клэя четко написано: если вы решили одну из семи великих проблем, вы посылаете решение в журнал, этот журнал проводит рецензирование, публикует. Потом откладывается на два года, если за эти два года никто из специалистов не нашел контраргументов, можете идти и получать свою премию. Это четкое положение. Заметим, что положения Григорий не выполнил, он не послал свои статьи в журнал.

Ольга Орлова: Он не опубликовал свою работу в рецензируемом журнале, а опубликовал в электронном журнале?

Виктор Бухштабер: Нет. Он ее просто выложил в Интернет. Сейчас есть такая замечательная возможность, решив проблему, вы просто кладете статью в Интернет, и все - она уже опубликована. Вы на этом можете успокоиться. Но если вы ее послали в солидный журнал, там проводится рецензирование, рецензию пишут специалисты, и это как бы знак качества. И вот здесь проявился характер Григория: он посчитал, что ему такой знак качества не нужен.

Ольга Орлова: То есть он сообщил миру о том, что он сделал, а пусть теперь мир решает, что с его результатом делать.

Виктор Бухштабер: Да. Но по правилам института Клэя он не мог претендовать на эту премию, потому что там написано было - опубликуйте в журнале.

Ольга Орлова: Но когда Григорий выложил в Интернет свои работы, после этого его доказательство стали проверять? Искать контраргументы?

Виктор Бухштабер: Ведущие специалисты образовали группы для анализа текстов Перельмана. И, насколько я знаю, Григорий был открыт для сотрудничества с ними. Если он получал письмо с вопросом и находил, что этот вопрос содержательный, он на него отвечал. В этом смысле классический пример - наш великий математик Андрей Николаевич Колмогоров. Когда было опубликовано собрание его сочинений, то к некоторым из своих работ он успел написать примечания, где объяснил, как возникли его идеи благодаря ассоциациям. Часто бывало так, что очень глубокую идею он не доводил до публикации с полным изложением всех деталей. Однако почему Андрей Николаевич признан великим математиком? Потому что все его основные результаты и идеи оказались верными. И он считал так: есть такая идея, он ее внес в мир, и дальше мир ее развивает.

Ольга Орлова: Давайте вернемся к истории с Григорием Перельманом. Как же дальше развивались события?

Виктор Бухштабер: Дальше получилось так, что ведущие специалисты взялись за проверку. Вы знаете, была известная китайская группа, которая на это получила серьезные деньги. Но были группы и в Германии, в Америке. И чем дальше они углублялись в ткань доказательства, тем яснее они видели, что там все восстанавливается. Ведь настоящая математика построена во многом на ассоциациях. И когда возникают глубокие ассоциации, то ученый четко понимает, что его идея надежна. Но для процесса детальной записи требуется пройти длинный путь, надо подкреплять логику, надо подкреплять переход шаг за шагом. И если вас интуиция не подвела, если ассоциация крепкая, то это все восстанавливается. Вот я думаю, так было и в случае с Григорием. У него было четкое убеждение, что то, что он предложил, сработает. И это сработало!

Ольга Орлова: И после того, как доказательство Перельмана было подвергнуто тщательной проверке…

Виктор Бухштабер: ...Потому что речь шла, повторяю, о проблеме Пуанкаре. Если бы он заявил какую-то другую проблему, ничего бы такого не было.

Ольга Орлова: Все поняли важность того, что он сделал?

Виктор Бухштабер: Я приведу еще один пример. Это было буквально несколько лет назад, я как раз в Вене говорил с очень крупным математиком и даже спросил его: каковы ваши впечатления о Перельмане? Он интересно ответил: "Я слышал доклады Перельмана на конференциях и на семинарах, не связанные с проблемой Пуанкаре, и я понял, что ему можно верить". Ранее были заявки на решение проблемы Пуанкаре, но все они оказывались несостоятельными. Но через некоторое время крупные математики поверили, что заявка Перельмана - это очень серьезно.

Ольга Орлова: И результатом такого доверия оказалось решение Филдсовского комитета о присуждении Григорию медали?

Виктор Бухштабер: Именно так.

Показать комментарии

XS
SM
MD
LG