Ссылки для упрощенного доступа

logo-print

Десятый международный конгресс, посвященный преподаванию математики


Александр Костинский: Сегодня мы будем говорить о десятом Международном Конгрессе, посвященном математическому образованию. Адрес конгресса в интернете: www.ICME-10.dk. Конгресс прошел в Копенгагене с 5 по 11 июля этого года. На Конгрессе математическое образование России было представлено отдельной экспозицией: одной из пяти. Кроме России такие экспозиции представили Южная Корея, Мексика, Румыния и Скандинавские страны. В студии Радио Свобода участники Конгресса: доктор физико-математических наук, профессор МГУ Владимир Тихомиров и преподаватель московской гимназии 1543 Виталий Арнольд.

Первый вопрос к Владимиру Тихомирову. Расскажите, пожалуйста, об истории конгрессов, посвященных математическому образованию и об участии российских ученых в этих конгрессах.

Владимир Тихомиров: Представители российской математики очень мало принимали участие в этих конгрессах. Так было до последнего - 10-ого, где была огромная делегация, около ста человек. А, например, на шестом конгрессе в нашей делегации было всего четверо. Так что эти конгрессы вещь для нас сравнительно новая. Но, тем не менее, это огромное всемирное мероприятие, куда приезжают математики, преподаватели математики, ученые со всех континентов. На конгрессе происходят бурные дискуссии о том, как нужно преподавать математику, зачем нужна математика, какая математика нужна, как отделять математику для всех от математики для тех, кто собирается сделать ее своей профессией. Все эти вопросы и много других обсуждаются на каждом из конгрессов. И, конечно, новое время приносит совершенно новые идеи и технологии. И все это тоже является предметом дискуссий.

Александр Костинский: Можно ли сказать, что этот конгресс - продолжение работы той самой секции, посвященной преподаванию математики, на втором математическом конгрессе, который открывал Гильберт, в самом начале XX века?

Владимир Тихомиров: Это, конечно, так. Конгрессы, посвященные педагогике, они развивались в многом параллельно собственно математическим конгрессам. На гильбертовском конгрессе действительно была секция преподавания математики, а потом тема преподавания выделилась в самостоятельную. И в России традиция обсуждения преподавания математики тоже очень давняя. И у нас было много конгрессов, посвященных преподаванию математики еще в дореволюционный период. Потом у нас эта традиция прервалась. А традиция международных конгрессов по преподаванию математики прерывалась только в периоды мировых войн. Последние десять конгрессов - это продолжение единой линии, которая идет с начала века до наших дней.

Современные конгрессы проходят раз в четыре года, и в этой форме они начались в шестидесятые годы.

Организаторами и инициаторами первых конгрессов в начале XX века были крупнейшие математики, в частности, великий немецкий математик Феликс Клейн. И сама идея реформы математического образования активно обсуждалась весь ХХ век. Разные страны и разные математики выдвигали свои интересные идеи. Одни склонялись к тому, чтобы сделать математику более практической, другие - наоборот, считали, что надо научить людей мыслить, и тогда делать практические вещи они научатся сами.

Сегодня конгрессы приняли почти необозримые размеры. Нет таких мест в мире, где можно было бы разместить две с половиной тысячи людей так, чтобы они могли активно сотрудничать. Так что весь конгресс в Копенгагене разбился на множество маленьких аудиторий. Невозможно было уследить за всем.

Александр Костинский: Виталий, что вам запомнилось на этом конгрессе, какая-то, может быть, основная мысль?

Виталий Арнольд: Мне тут немножко трудно говорить про основную мысль, потому что, как только что сказал Владимир Михайлович, основная мысль для трех тысяч человек мне с моих детских лет мыслится чем-то абсурдным. Не бывает общей мысли для трех тысяч человек. Хорошо, если у каждого из них есть две мысли, но усреднения никак не получается.

Конгресс естественным образом делится на среднюю и высшую школу. Это разделение во всех странах примерно одинаково. На конгрессе пять национальных презентаций, два десятка дискуссионных групп, несколько тематических групп. На конгрессе есть пленарные заседания, которые происходят в зале на тысячу человек и все равно все желающие туда не помещаются, поэтому параллельно слушают выступления в других залах, где идет телетрансляция. Можно и с улицы наблюдать за тем, что происходит на заседании. Конгресс - это огромное скопление людей с самыми разными вкусами, привычками, знаниями, интересами, каждый из которых приехал для чего-то своего. И сравнительно небольшой, по моим собственным привычкам, город Копенгаген со сравнительно маленьким - местами средневековым, местами, выстроенном под средневековье, университетом, с аудиториями, которые битком набиты людьми, которых все-таки что-то объединяет. Эти лица отличаются от тех, что встречаешь на улице. Эти люди заинтересованы в общении друг с другом. Это важно. Люди приезжают на конгресс открытые к общению. Кто-то хочет себя показать, кто-то хочет посмотреть, что происходит, кто-то хочется научиться, кто-то хочет научить. И, действительно, организаторам конгресса удается собрать неслучайное сообщество, собрать именно тех, кто заинтересован в деле преподавания математики. Что касается собственно впечатления, то мое в основном связано с российской презентацией, российской выставкой, на которой я 90% рабочего времени провел, и почти не ходил ни на какие другие мероприятия. В общем, мне очень понравилось то, что там происходило. И мы, может быть, позже это здесь обсудим подробнее.

Александр Костинский: Вопрос Владимиру Тихомирову. Вы сказали, что последние сто лет - сто лет бурного развития математики - крупнейшие математики были обеспокоены математическим образованием, как в школе, так и в университете. Если бросить взгляд на эти сто лет, то, с одной стороны, что-то получилось, с другой - что-то не удалось. Когда читаешь работы, посвященные преподаванию математики, многие из которых написаны блестяще, видишь, что многие великие математики внесли действительно крупный вклад в преподавание. Тот же Дьердь Пойя, который разработал целую систему постановки и решения математических задач, а Жак Адамар посвятил многие яркие страницы исследованию математического мышления. Как вы полагаете, с учетом последнего конгресса, есть ли прогресс в преподавании математики и что существенно изменилось?

Владимир Тихомиров: На этом конгрессе, если я правильно понимаю ситуацию, все-таки математиков самого первого ранга не было. Хотя в российской делегации был очень крупный математик - Дмитрий Викторович Аносов. Но были люди, которые действительно на протяжении очень многих лет контактировали с крупными математиками и сами имеют серьезные математические заслуги. Я назову двоих: Ричард Аски (Richard Askey, University of Wisconsin, USA) и Хайман Басс (Hyman Bass, University of Michigan, Ann Arbor, USA), которые, действительно, очень болеют за состояние математического образования во всем мире. Математика представляется многим людям одним из важнейших предметов в структуре образования. Об этом говорили практически все, и это подчеркивалось на открытии конгресса, которое проводили организаторы, где выступали, в частности, мэр Копенгагена и министр образования Дании.

Математическое образование - это вещь нужная трем структурам. Я в своем докладе так их назвал, и в той или иной форме это было сказано многими людьми. Во-первых - это личность, это сам человек. Математическое образование необходимо каждому, вне зависимости от того, какая дальнейшая судьба его ждет. Каждый должен научиться мыслить, а за пределами математики не очень многие умеют это делать и научиться этому трудно. Во-вторых - это государство. Наш мир пока разбит на государства. В частности, мы принадлежим Российскому государству. Этому государству для того, чтобы оно могло выжить, нужны люди очень разнообразно связанные с математикой: нужны мыслители, технари, нужны физики и математики для того, чтобы открывать новые технологические возможности и многое другое. И, в-третьих, математика нужна всему человечеству. XXI век - это век, в котором человечеству надлежит решить большое количество трудных задач, а сделать это невозможно без очень широко и свободно мыслящих людей. А такие люди вне математического просвещения не существуют.

Те кто может руководить очень большими ансамблями людей, те кто может выдвинуть существенно новые программы развития всего человечества, эти люди неизбежно должны получить определенное математическое образование. Эта мысль на конгрессе фигурировала в очень многих выступлениях.

Вторая идея, которая тоже была предметом широких обсуждений - это вопрос, как разделить образование для всех и образование для будущих ученых, для тех кто будет двигать науку дальше - математику, физику, биологию и другие предметы. Как раз математика здесь является в каком-то смысле определяющей. Например, на химическом факультете МГУ всегда выбирают математику в качестве первого экзамена. Химики проверяют на математике способность к мышлению. У них нет возможности проверить эту способность на химии, биологи. И так более-менее всюду. Трудно выделить людей с яркими креативными способностями на другом предмете - эти предметы не очень приспособлены для этого, а математика как раз замечательно приспособлена. Если человек действительно справился с трудной математической работой, то можно быть уверенным, что если он интересуется биологией, то он потом в биологии сделает многое. Сама мысль о том, что можно выделить креативную массу людей, которые способны на многое в разных науках, с помощью математики - эта мысль, которая захватывает всех. И вот здесь мы были большим украшением конгресса. Мой сегодняшний собеседник Виталий Арнольд об этом может многое рассказать.

Александр Костинский: Виталий, так что же происходило на российской презентации на конгрессе?

Виталий Арнольд: Я попытаюсь рассказать, как все это выглядело. Было три больших аудитории примерно на 200 человек каждая, в которых в момент самой презентации, которая длилась ровно один день - 6 июля, в нон-стопе шли пленарные выступления участников российской делегации. Соответственно, было около 30 докладов, довольно коротких, по 10-15, самое большое 20 минут. В трех аудиториях шли параллельные доклады. В одной - доклады, так сказать, общего содержания, в другой - больше посвященные школьному образованию, в третьей - университетскому. Но это очень условное деление. На самом деле, были существенные пересечения. Это была одна часть презентации. Естественно, в перерывах в кулуарах шли обсуждения, и в аудиториях были слушатели, которые задавали вопросы членам российской делегации.

Вторая часть презентации - это выставка, посвященная российскому математическому образованию, которая занимала целый этаж в двухэтажном здании в кампусе датского технического университета. Это - большое здание, и весь второй этаж был отдан российской делегации. Там был холл, в котором половину холла занимало два стенда. Один - история российского математического образования. Огромный стенд, длиной, наверное, 12-15 метров и высотой во весь зал - метров пять. Содержание стенда охватывало историю российского математического образования, очень условно, с Петра Первого до нынешних времен. А напротив него другую стенку фойе занимал стенд, посвященный структуре российского математического образования, где тоже была ось времени, только не абсолютного времени, а скорее отражающего возраст обучающегося. Охватывалась структура образования примерно с 6 до 22 лет. Причем на каждом уровне говорилось про общее образование, про специализированное образование или элитное, как его называют, там, где оно есть, про кружковое движение, про олимпиады и другие дополнительные вещи. Это была огромная таблица. А дальше из этого фойе уходил длинный коридор, в котором работало несколько секций, посвященных вузам, старшей школе, средней школе, начальной школе и на каждом из этих стендов работало несколько человек, которые показывали какие-то наработки. Какие-то материалы были развешены на стендах. Около каждого маленького стенда размером 60 на 80 сантиметров, который мог быть поводом для обсуждения, находился человек, который понимал, что на этом стенде изображено и мог это как-то комментировать. Потому что если сам по себе висит стенд, он как-то немножко в воздухе висит и нужен какой-то раздаточный материал, и обязательно нужен какой-то разговор.

Одним из главных принципов создания этой выставки был такой: бессмысленно говорить о математическом образовании в одних общих словах - необходимы задачи. Можно сказать, какие мы хорошие, у нас проходят такие-сякие мероприятия, делается то, се, пятое, десятое, но понять и оценить это без задач невозможно. Поэтому на каждом сколь угодно маленьком участке большой презентации мы пытались показать характерные задачи, которые предлагаются, предлагались или могут предлагаться школьникам. Демонстрировались математические задачи, вполне представляющие то, что же на деле происходит. Если это начальная школа, то это могут быть какие-то реальные задачи из наших учебников или пособий. Могут быть какие-то реальные игры, в которые играют в тех или иных школах с детьми на уроках. Но надо понимать, что это не компьютерные игры. Имеются в виду обучающие игры. Ребенок в начальной школе всегда скорее играет, чем занимается наукой - это общеизвестный факт. Как через эти игры ребенка удается чему-то научить - это можно показать. На стыке начальной школы и 5-9 классов был сделан специальный стенд, посвященный задачам перельмановских книжек, задачам из книги "В мире смекалки" Игнатьева - занимательным задачам в старых традициях, со старыми рисунками. И там тоже были люди, способные объяснить, как это все работает. Или у нас был стенд, посвященный Всероссийской заочной многопредметной школе. Она тоже имеет 40-летнюю историю, почти столько, сколько современные образовательные конгрессы, и, естественно, помимо людей, которые там реально работают и много лет этим занимаются, помимо географии школы, была и статистика - за сорок лет истории уже можно что-то усреднять. Но и там были избранные задачи. По-моему, около 20 задач было взято из всего огромного опыта ВЗМШ и переведено на английский язык. Они висели на стенде, чтобы показать, какие задачи школьникам предлагаются. Это были реальные задачи, предлагающиеся в школе. На стенде, посвященном элитной школе, тоже были реальные задачи, которые предлагаются школьнику, пришедшему в школу: пример листочка с задачами. Это реальный листочек, который реальные школьники решали. И реальный выпускной экзамен, который школьники сдают. И на стенде помимо разговоров и принципиальных вещей, которые попадали в доклады, на каждом стенде были примеры того, чем реально дети занимаются. Если мы представляли летние школы, значит мы представляли не только фотографии детей, которые на лавочках сидят с открытыми книжками, это, конечно, очень интересно, но не слишком-то убедительно. Мы не только представляли фамилии людей, которые приезжают на эти школы, но мы представляли темы математических докладов и сайт, на котором это все можно увидеть (www.mccme.ru), чтобы люди могли посмотреть, чем именно занимаются эти школьники с книжками, и уяснить, что же мы конкретно понимаем под математическим образованием.

Александр Костинский: А как выглядело наше образование на фоне других стран?

Виталий Арнольд: Здесь можно говорить о двух вещах - о моих оценках того, что происходило и об оценках другими делегациями на конгрессе российской презентации. Поскольку я работал на презентации российского образования, то я не очень-то видел их опыт. Я не много ходил на те стенды, которые посвящены не нашему опыту, а опыту, скажем, французскому, скандинавскому или мексиканскому. Поэтому мне гораздо интереснее говорить о том, что говорили на конгрессе те, кто приходил на нашу презентацию. Они говорили, что у них начисто отсутствуют некоторые наши традиции. Например, традиция популярного книгоиздания такого уровня, такой массовости и такого охвата.

Александр Костинский: Научных или образовательных изданий по математике?

Виталий Арнольд: Я бы скорее сказал традиции научно-популярного книгоиздания, может быть научно-учебного, хотя это определение уже безумие совершеннейшее. Совсем простые книги, которые для заинтересованного школьника уже пройденный этап, у нас тоже есть, но есть и книги, после которых человек может читать вузовские учебники или специальные книги по специальным разделам. Весь этот путь, начиная с начальной школы, во всяком случае, с 10-12 лет, кончая уже действительно выбором своего научного пути, своего собственного подхода к науке у нас обеспечен книжками. И все это уже сделано усилиями старших по отношению ко мне поколений: я не помню времени, когда этих книг не было. И эта традиция продолжается, может быть, с XIX века, или даже XVIII, когда эта традиция началась, и она продолжается сегодня. Она жива.

Александр Костинский: Но было много и переводных книг, а не только российских.

Виталий Арнольд: Да, но российских уже хватало. Может быть, Владимир Михайлович меня поправит, но мне кажется, что российская традиция перевода послевоенная в значительной степени. В 1917-1947, условно говоря, эта традиция была по разным причинам слабой, а переводы иностранных математических книг в массовом порядке начались в конце 40-ых годов. Но даже собственного книгоиздания было более чем достаточно. На конгрессе многие нам говорили, что очень жалко, что не все эти книги доступны западному читателю, и дело перевода этих книг, дело какого-то издания на Западе - это для западных коллег очень важно. Предположить, что все наши школьники в едином порыве выучат английский до такого уровня, что смогут читать Мартина Гарднера в подлиннике - это наивно. Столь же наивно предположить, что школьники Швеции, например, выучат русский, чтобы прочитать книжки Перельмана.

Было яркое впечатление и совсем другого характера во время выступления академика Аносова. Он делал общий доклад на российской презентации одним их первых. И ему задали вопрос из зала: уважаемый Дмитрий Викторович, мы хорошо знаем традиции российского математического образования, мы ценим ваш богатый опыт и действительно многому у вас учимся. Только вот что не совсем понятно: что и ради чего вы у себя реформируете? Слух о том, что в России грядут реформы образования дошел и до наших зарубежных коллег.

Александр Костинский: Почему грядут, они идут.

Виталий Арнольд: Это мы с вами знаем, что они идут. Западные коллеги надеются, что наши реформы еще недалеко ушли. На западе у всех есть свой опыт реформирования и многие из математиков к этому реформированию относятся весьма настороженно, чтобы не сказать резче. Вот и про российское образование они с опаской спросили - так ли у вас плохи дела, что надо срочно начинать радикальные реформы?

Александр Костинский: Я прошу Владимира Михайловича Тихомирова, сказать несколько слов в завершение нашей беседы о конгрессе и шире о перспективах математического образования.

Владимир Тихомиров: Я ожидаю, что XXI век - очень важный и очень существенный век. Перед ним стоят огромные проблемы. Три основных, величайших проблемы, которые стоят перед всем человечеством: это - проблема обеспечения всего человечества питанием, это - проблема экологии и проблема терроризма. И либо эти проблемы человечество попытается разрешить, действуя как единый организм - примет какие-то идеологемы, которые позволят ему не погибнуть. Либо все будет продолжать расшатываться и окончательно устремится к катастрофе. Будем надеяться на то, что этого не произойдет. Но для того, чтобы этого не произошло, в человечестве должна быть выделена большая группа людей, которые мыслят исключительно широко, а не преследуют какие-то мелкие, личные цели.

Сейчас человечество стоит перед тем, чтобы разрешить проблемы несопоставимо более существенные для самого своего существования, чем даже в XX веке. И для того, чтобы их можно было решить, необходимо очень много людей, мыслящих широко и свободно. Можно только пожелать, чтобы они были обеспечены необходимым математическим образованием. Таких людей должно быть действительно очень много, стоящие перед нами проблемы нельзя решить элитарно. Я думаю, что забота о том, чтобы математическое образование находилось на должном уровне, который продемонстрировал этот конгресс, вполне отвечает этой глобальной задаче воспитания по-новому мыслящих людей.

Это было собрание замечательных людей. Оглядываешься и видишь - буквально по глазам, что проблема математического образования всех их по-настоящему задевает. И это действительно очень трогательное зрелище. Они взволнованы, они готовы говорить каждый о своем, но в тоже время об одном.

Я надеюсь, что на самом деле то единство, которое существует между нами, что оно распространится на все человечество.

XS
SM
MD
LG