Ссылки для упрощенного доступа

logo-print

Под знаком бесконечности




Когда Земфира поет:
Я не нарочно,
Просто совпало,
Я разгадала - Знак бесконечность

я думаю: неужели правда, неужели разгадала? Неужели это случилось? Да можно ли ее разгадать, бесконечность? Но в этих словах фиксировано ощущение исчерпанности бесконечности, которое присутствует в сегодняшней культуре.

Со времен древнегреческой философии и математики бесконечность всегда была объектом пристального внимания. И уже с тех самых пор существовали два принципиально различных взгляда на этот крайне непростой предмет. Бесконечность можно рассматривать как потенциальную - то есть возможную, становящуюся, а можно видеть ее как актуальную, то есть действительную, завершенную.

Сколько чисел в натуральном ряду? Бесконечно много. Мы можем рассматривать все множество натуральных чисел как единый завершенный объект. И этот завершенный объект актуально бесконечен, и эта бесконечность есть мера бесконечных множеств, которые нам даны во всей своей полноте. Даны, а не заданы. Свойства актуальной бесконечности с точки зрения здравого смысла парадоксальны. Мы точно знаем: часть меньше целого. Но для актуальной бесконечности это не верно. Здесь часть может быть равна (или если говорить более точно - равномощна) целому. Мы можем выделить подмножество всех четных чисел и показать, что оно равномощно всему множеству натуральных чисел. Сопоставим каждому натуральному числу N число N умноженное на 2. Это однозначное соответствие и есть доказательство равномощности этих множеств. Как же так, но ведь четных чисел в любом как угодно большом отрезке натурального ряда ровно в два раза меньше? Здравый смысл сопротивляется.

Но можем мы поступить и совершенно иначе - мы можем задать пошаговую, итерационную процедуру порождения множества. Например, определим натуральный ряд, как множество чисел, которые получаются из единицы путем последовательного прибавление к ней опять же единицы. Так мы сможем порождать любое натуральное число сколь угодно большое - то есть любой элемент множества, но в каждый момент времени мы будем иметь только конечное число элементов, и мы, вообще говоря, не всегда вправе высказывать утверждения обо всех сразу натуральных числах. Мы уверенно говорим только о тех, которые мы уже перебрали, или построили. Потенциальная бесконечность - понятный объект, если мы говорим, что множество потенциально бесконечно, то мы практически утверждаем, только то, что к нему всегда можно добавить еще один элемент. Потенциальную бесконечность не нужно разгадывать.

В сегодняшнем мире, мире последовательного прагматизма актуальная бесконечность со своими странными свойствами кажется необязательной. И необязательной ее делает невероятное развитие вычислительной техники, необыкновенно быстрый - взрывной рост тактовой частоты процессоров, пропускной способности каналов связи, емкости памяти. Компьютеры как бы реализуют в своем развитии потенциальную бесконечность, они оперируют с такими массивами данных и на таких скоростях, что человек этого уже представить не может.

Я напомню древний парадокс: если к нескольким зернам добавить еще одно - кучи зерна не получится. Так с какого зерна начинается куча? Куча - говоря нашими словами - это актуальная бесконечность. Мы никогда не сможем сказать с какого зерна она начинается. Компьютер отказывается от такой постановки вопроса вообще. Он просто перебирает любое количество зерен одно за другим. Места для самого понятия "куча" просто нет.

Мы говорим "Ложкой не вычерпать море", "Найти иголку в стоге сена". Но все эти метафоры актуальной бесконечности уже реализованы, на деле мы оперируем с числами или сравнимыми или даже большими чем те, которые казались аналогом бесконечности людям предыдущего поколения.

Объем мирового океана около 10 в 21 степени литров воды.

http://www.glossary.ru/cgi-bin/gl_sch2.cgi?RCukt:l!wlxzwx

Насколько велико это число представить себе довольно непросто. Чтобы вычерпать океан литровой кружкой, зачерпывая по одной кружке в секунду, понадобится, примерно, 30 000 миллиардов лет - то есть около 1500 временных интервалов равных возрасту вселенной. А объем мирового интернета уже сравним с этим гигантским числом.

Объем мирового интернета оценивается от 10 в 15 до 10 в 18 степени бит информации. (По оценкам университета Беркли)

http://www.sims.berkeley.edu/research/projects/how-much-info/internet.htm

Разница в несколько порядков при измерении объема интернета совершенно неизбежна, поскольку интернет крайне неоднороден и по типу хранимой информации и по типу доступа к ней. По разным оценкам статический - или "поверхностный" - интернет, то есть те страницы, которые реально существуют в виде выложенных на Сеть текстовых файлов, эта часть интернета составляет около 1/500 от всего хранимого в интернете объема информации. Кроме того мы можем учитывать или не учитывать огромные объемы электронной почты и цифровых телефонных разговоров, которые проходят по IP соединениям.

Интернет сегодня - это океан, или "седьмой континент", как и называется наша программа. Этот океан непрерывно и стремительно растет. У него изменчивая, вероятно, фрактальная - то есть бесконечно изломанная - граница. В интернете есть темные - или "глубокие" - области пробиться в которые извне очень трудно, настолько они надежно закрыты выделяемыми правами доступа и шифрованием. Есть данные, которые формируются только по конфиденциальному запросу и практически недоступны поисковым системам, которые работают, в основном, с "поверхностным" интернетом, с его статической - прозрачной областью. Именно с этой областью наиболее удобно работать поисковым роботам - тем программам которые непрерывно сканируют страницы и получают информацию для построения поисковых индексов.

Сейчас - в октябре 2002 - в индексе поисковой системы Google около 2,5 миллиардов документов. Если мы представим себе стог сена с таким количеством соломинок, то его размеры составят несколько кубических километров. И в таком стогу мы без особых проблем беремся искать - одну соломинку, необходимый нам документ.

Море мы почти вычерпали, иголку в стоге сена нашли. Мы сегодня имеем дело с такими большими числами, которые еще совсем недавно казались и главное были для нас реально-бесконечными. А теперь мы с легкостью эти числа перебираем. И не видно предела росту этих чисел.

Самая интенсивно развивающаяся математическая наука - это вероятно то смешение математических дисциплин, которое именуется Computer Science. Вычислительная математика становится все более важной областью математической науки. Нас уже не очень интересует гладкость функции, потому что мы работаем только с числами конечной точности. Нас не всегда интересует не только аналитическое решение уравнения, но и скорость сходимости алгоритма - завтра будет процессор, который справится и при медленной сходимости.

Развитие компьютерной математики приводит к тому, что эта наука, которая уже много столетий занимается структурами и переменными - возвращается к работе с наборами чисел - как это было, например, в древнем Египте - где она была конкретной наукой, задача которой была не в расчете любой пирамиды вообще - это-то как раз никого не интересовало, а именно той пирамиды, которую потребовал заказчик. Например, Хеопс. Такое изменение математики стало возможно только потому что конкретные числовые наборы с которыми она оперирует очень велики. Математика становится экспериментальной наукой, работающей с числом, примерно, так же как физика работает реальными вещами. Например, фрактальная геометрия - это практически чистый числовой эксперимент. Математика становится наукой изучающей реально-конечные модели.

Нужна ли нам вообще актуальная бесконечность при той вычислительной мощности которой мы сегодня располагаем, и которая продолжает стремительно расти или нам вполне достаточно реально-конечных моделей, с которыми справляются наши компьютеры? Есть ли место актуальной бесконечности в сегодняшнем мире, или она только мешающая абстракция что-то из области математических игр и никакой реальной основы за ней не видно?

Аристотель очень хорошо представлял себе все трудности и противоречия, которые несет в себе принятие актуальной бесконечности. Что-то в языческом человеке, в его представлении мира отчаянно сопротивляется, например, таким утверждениям: любой отрезок прямой - даже самый маленький содержит бесконечное множество точек, и множество этих точек равномощно и в крохотном отрезке и во всей числовой прямой. Именно парадоксы актуальной бесконечности сделал явными Зенон Элейский в своих знаменитых апориях об "Ахиллесе и черепахе" или о "Стреле".

Аристотель отказывается рассматривать актуально-бесконечные

множества. Но он прекрасно понимает, что обойтись только одними конечными множествами тоже не удастся - поскольку натуральный ряд неограничен. И Аристотель в "Метафизике" допускает потенциальную бесконечность.

Но античный мир - конечный, пластический мир. Греки полагали, что конечное есть основа мира, что оно совершенно и точно, а бесконечное - это какая-то никогда не завершающаяся совокупность, которая больше напоминает бездонное хлюпающее болото, в котором тонет все что в него попадает, а само болото от этого становится только глубже.

Мир греков - это мир геометрический, но фигура всегда конечна всегда реально-обозрима, нам никогда не нужна вся прямая как целое, нам вполне довольно ее любого отрезка любой длины. Фигура - это зрительная данность, в отличии от числа - от измерительной абстракции. Круг мы всегда можем увидеть, а вот число два, как таковое увидеть нельзя.

В средние века картина мира изменилась радикально. Конечно, главное изменение произошло раньше: это переход к сознанию нового времени - к христианству. В средние века рефлексия бесконечного, которая безусловно присутствует в представлении о едином Боге-творце, это переживание бесконечного перестает быть чем-то размытым и неосознаваемым, оно уже не только интуитивно, оно настолько четко, что с ним уже можно совершать формальные операции. И это именно актуальная бесконечность.

Теперь уже конечное становится чем-то ущербным, потому что ограниченным. Если греки представляли прямую, как неограниченно продолженный отрезок, то средневековая математика определяет отрезок - как фрагмент отрезанный от прямой. И бесконечное занимает главное место в мировоззрении, философии и математике.

Галилео Галилей одним из первых строит качественную теорию бесконечно-малых - то есть пытается оперировать с актуальной бесконечностью. Пиама Гайденко, в книге "История новоевропейской философии в ее связи с наукой", анализируя диалоги Галилея пишет:

"Коль скоро Галилей вводит понятие актуальной бесконечности, он принимает и все те следствия, которые с необходимостью вытекают из этого понятия-парадокса:

Чтобы окончательно разрушить тот барьер, который Аристотель поставил проникновению актуально бесконечного в науку: Галилей заявляет, что "разложение линии на бесконечное множество ее точек не только не невозможно, но сопряжено не с большими трудностями, чем разделение на конечные части". Производится же это разложение с помощью того самого предельного перехода от многоугольника с как угодно большим количеством сторон к многоугольнику с актуально бесконечным количеством сторон, т.е. к окружности, который обычно применяют и Кузанец, и Галилей".

От построений Галилея, от важнейшего для него - и для всей новоевропейской науки и философии понятия - предельного перехода - то есть превращения бесконечно ломаной линии в гладкую кривую, до исчисления флюксий и основ дифференциального и интегрального исчисления, которые были заложены Ньютоном и Лейбницем уже совсем недалеко. Галилей делает главное - он переворачивает аристотелевы построения и постулирует уже во вполне формальном виде, близком к системе реальных аксиом свое определение актуальной бесконечности, как основы новой математики.

В 1655 году через 13 лет после смерти Галилея английский математик Джон Валлис предлагает для обозначения бесконечности знак - упавшую на бок восьмерку. Впервые это обозначение появляется в книге, вышедшей в 1655 году с характерным названием "Арифметика бесконечного". Выход этой книги и последовавшие за ней работы, посвященные операциям с бесконечно-малыми и бесконечно-большими величинами, стали завершением того процесса, который ввел в европейскую математику актуальную бесконечность. Спиноза сделал сам термин "актуальная бесконечность" общепринятым. На этом первый этап освоения бесконечности европейской наукой был завершен. Дальше мы будем с ней работать. Мы формализуем понятие предельного перехода, поймем что же такое математическая непрерывность, выясним природу действительного и комплексного числа. И в конце - концов во второй половине девятнадцатого столетия Георг Кантор (3.3.1845, Петербург, - 6.1.1918, Галле), попытается построить аксиоматическую теорию множеств и арифметику трансфинитных чисел, которыми обозначаются мощности актуально-бесконечных множеств.

В тот момент, когда показалось что победа актуальной бесконечности близка и наконец-то Кантору удалось развязать все узлы противоречий, в этот самый момент вдруг выяснилось такое количество новых парадоксов и трудностей, что канторова теория множеств была названа "наивной" и была пополнена группой аксиом как казалось устраняющих противоречия, но накладывающих дополнительные ограничения на объекты исследования - на множества.

Канторова революция была отчаянной. Вводя лестницу бесконечностей, он думал о "лествице" восхождения к благодати, он рассматривал как обязательно существующую некую абсолютную бесконечность - которую полагал божественным атрибутом. Когда канторова теория начала рушится на глазах ее творца - он согласно легенде сошел с ума и умер в психиатрической больнице в Галле.

Конец двадцатого века привел нас к новому повороту вечной проблемы актуальной бесконечности. И в определенном смысле мы вернулись к актуально-конечной парадигме греков. Актуальная бесконечность была введена в математику и получила свое обоснование в актуальном бытии Бога. Именно необходимость понять что есть causa sui - или причина самого себя потребовала принятия актуальной бесконечности.

Чтобы принять актуальную бесконечность достаточно всего лишь верить в Бога. В четырнадцатом или даже семнадцатом веке это требование было чем-то само собой разумеющимся, но в конце двадцатого это большая редкость.

Отношение к понятию актуальной бесконечности - его принятие или неприятие определяется не столько требованиями внутриматематическими или даже внутринаучными, это не требование модели, это отражение глобальной мировозренческой парадигмы.

Можно ли сказать, что сегодня мы способны отказаться от актуальной бесконечности, как от ненужной абстракции? И можно ли вслед за Земфирой повторить, что мы разгадали знак бесконечность?

Я думаю, что все-таки нет. Я думаю, что наше отношение к бесконечности иное, чем у греков, но и не такое как у Галилея или Гегеля.

Греки видели в окружности конечный объект. Галилей видел в ней актуальную бесконечность, которая порождается предельным переходом из правильного многоугольника с любым количеством сторон. Сегодня мы видим в окружности бесконечно изломанную фрактальную границу на подобии береговой линии - потому что мы заменяем гладкий процесс предельного перехода на последовательность вычислений с конечной точностью, при которых точки только примерно располагаются на окружности, очень близко, но никогда не точно. И эта наша окружность реально состоит из конечного множества точек.

Мы не можем увидеть окружность так, как ее видели греки, потому что не доверяем своим чувствам, они не являются для нас даже источником первичной интуиции, настолько наши чувства ненадежны и даже бессильны. Мы не доверяем и галилеевой рациональной интуиции красоты - для нас она слишком абстрактна и плохо поддается вычислительной проверке. Но если мы совершенно отбросим эту интуитивную красоту, мы не сможем двигаться вперед. Потому что в мире непознанного в который мы непрерывно вторгаемся у нас нет другого ориентира.

Сначала нужно построить теоретическую гипотезу, чтобы потом можно было поставить вычислительный эксперимент. Мы должны представить себе круг, чтобы потом его посчитать, а чтобы представить себе его образ, мы должны отделить его от всего остального мира - провести оценочную границу. После того как граница проведена мы многое внутри границы можем посчитать, но границу нужно провести. В тот самый момент, когда мы проводим границу, когда строим, может быть, только приблизительную чисто качественную оценку мы вынуждены работать с актуальной бесконечностью непознанного, которая принципиально не описывается никакими формальными, вычислительными средствами.

Человек имеет дело с актуально-бесконечным непознанным и непознаваемым до конца миром, и сколько бы мы не отделяли от него конечные объекты мы по-прежнему остаемся в начале пути. И мы по-прежнему живем под знаком бесконечности, сколько бы мы его не разгадывали.

Все ссылки в тексте программ ведут на страницы лиц и организаций, не связанных с радио "Свобода"; редакция не несет ответственности за содержание этих страниц.

XS
SM
MD
LG