Современные математические пакеты - высшая математика, доступная всем желающим
Александр Костинский
Когда мы учились в школе, почти каждый кабинет математики был украшен изречениями вроде: "Математика - царица наук" или "Наука может считаться наукой в той степени, в которой она использует математику". Теперь мы знаем, что могущество математики значительно преувеличено, и многие задачи практически ничего не выигрывают от перевода на математический язык, во всяком случае, на то, что мы сегодня относим к математическому языку. Несмотря на ограничения, роль математики по-прежнему огромна, а обучение этой дисциплине значительно отстает от ее достижений. Но в последнее время благодаря компьютерам в классических областях математических приложений наметился прорыв. В сегодняшней передаче мы расскажем о замечательных современных математических пакетах, реализованных на обычных персональных компьютерах. Благодаря им возможности очень сложной математики стали доступны многим рядовым пользователям, с весьма скромными математическими способностями.
Самим своим рождением и массовым внедрением современные компьютеры обязаны прикладным физико-математическим задачам. Именно надежда на быстрое решение приближенными методами практически важных систем уравнений побудила чиновников выделить большие средства на ненадежные, громоздкие и дорогие электронно-вычислительные машины. Дело в том, что лишь малое число физико-математических задач решаются точно. Неизмеримо больше вполне удовлетворительных с точки зрения практики решений можно получить приближенными методами. Например, нельзя в общем случае точно найти корни для уравнения выше четвертой степени. Нельзя точно описать движение всего трех тел, притягивающихся друг к другу (Земля, Луна, Солнце), хотя приближенно современные компьютеры с необходимой точностью решат задачу и для десятков таких тел.
Первые языки программирования тоже были нацелены на решение физико-технических задач. Фортран, например, расшифровывается, как транслятор формул. Языки программирования получили широкое распространение благодаря стандартизации их синтаксиса. Для большинства ЭВМ были написаны трансляторы с этих языков и компиляторы. То есть, специальные коды-переводчики, которые реализовывали программы, написанные на том же Фортране, на компьютерах разной конфигурации. Довольно скоро появились библиотеки стандартных подпрограмм. Благодаря им численно решались простые системы уравнений, брались интегралы, производные, строились графики. Однако для использования подпрограмм необходимо было написать основную программу и разобраться, в каком виде в них вводить и выводить информацию.
Быстрое развитие персональных компьютеров позволило многие серьезные физико-технические задачи успешно решать на персоналке. Удобство интерфейса, работа круглые сутки сделали настольный компьютер настоящим помощником при вычислениях. Развивались и стандартные подпрограммы. Они совершенствовались и объединялись в большие пакеты. Пакеты, разрастаясь, становились вычислительной математической средой. Чудом последних лет стали обширные символьные, то есть точные аналитические вычисления на компьютере.
Ведущие математические пакеты сейчас при минимальном знакомстве легко проводят очень сложные аналитические преобразования математических выражений, берут производные, интегралы, вычисляют пределы, разлагают и упрощают выражения, рисуют графики. Причем теперь не нужно долго изучать языки программирования для освоения математических возможностей компьютера. Сейчас в математических пакетах реализовано практически всё, необходимое инженеру, экономисту, социологу, статистику. Такие всемирно известные пакеты, как Mathematica, Mathcad, MatLAB, Maple, стали не только удобной вычислительной, но и поразительно плодотворной, гибкой образовательной средой. На мой взгляд, вместе с Интернетом эти пакеты могут объединить усилия многих и многих людей, обеспечивая мощные образовательные инициативы. Ведь в компьютерных учебниках и лекциях в текст теперь вставлены не обычные, а непосредственно исполняемые формулы, с помощью которых наглядно демонстрируется суть явлений. Их можно видоизменять под собственные задачи, дополнять и расширять, получив в результате не только числа, но и новые аналитические выражения, графики, таблицы.
О том, какие возможности дают современные математические пакеты в университете и могут дать в школе, я побеседовал с Валерием Очковым, автором книг и методических разработок для пакета Mathcad, доцентом Московского энергетического института.
Валерий Очков
Если говорить о применении компьютеров для решения инженерных задач, то можно выделить три этапа. Первый этап - лет 30 назад, когда мы программировали в машинных кодах. Это была мука, но мы только сейчас поняли, что это была мука, тогда это была - радость. Проекты очень долго выполнялись, много было ошибок, программы трудно было отлаживать. Потом появились языки программирования, Фортран (FORTRAN), Бейсик (Basic), Паскаль (Pascal), С. И после этого процесс создания расчетного проекта ускорился на порядок, быстрее стали отлаживаться программы и так далее. И вот сейчас намечается новый этап, который мало кто осознал, но он уже начался. Это использование специальных физико-математических программ для решения инженерных задач на компьютере. И опять же, этот новый этап на порядок ускоряет выполнение расчетного проекта по сравнению с языками программирования.
Александр Костинский
На меня произвела огромное впечатление работа с символьными операторами и то, как быстро удается построить двухмерные, трехмерные графики.
Валерий Очков
Вы правы. Большой плюс, что в математические пакеты встроены три группы инструментов: это - графика, это - традиционная вычислительная приближенная математика и новое, то чего нет в языках программирования, это - символьная математика. Правильнее, хоть и длиннее говорить не символьная математика, а компьютерная математика аналитических преобразований. Есть такие мощные пакеты - Mathematica, Maple, в них чистая символьная математика. Другие пакеты заимствуют элементы символьной математики. Но опять же пользователь, инженер, который решает задачу на компьютере, может при решении своей задачи успешно сочетать символьную математику, вычислительную математику, графические возможности пакета, но над всем этим парит его интеллект. Он знает, как задачу поставить, как ее решить. Для разных задач оптимальны те или другие математические инструменты. Символьная математика имеет большие плюсы и большие минусы. Если решать какое-то уравнение, у которого много корней, то символьная математика пытается выдать мне все корни, хотя мне нужен всего один. Из-за этого она часто глохнет, и я перехожу к вычислительной математике, даю первое приближение к корню и после этого довольно точно нахожу результат.
Помню, как символьная математика появилась еще во времена Фортрана. Тогда брались только производные функций. Это было чудо, люди сбегались смотреть, как это делает компьютер.
Очень важное свойство современных математических пакетов, кроме символьной математики, использование в расчетах единиц измерения физических величин. Вначале компьютеры сыграли с инженерными расчетами злую шутку. Из них были выдавлены единицы измерений физических величин. Человек, вводя на машине Р=20, должен был помнить, что 20 - это у нас метры. А через сотню операторов он забудет, что это метры и посчитает, что это сантиметры. Вот вам и ошибка. Современные пакеты Maple, Mathcad вернули в расчеты физические величины, и я мог бы назвать эти пакеты не просто математическими, а физико-математическими пакетами.
Александр Костинский
Насколько с появлением этих новых инструментов программирования ускорилась работа расчетчика?
Валерий Очков
Здесь можно говорить о порядках, то есть в десять раз, сто раз. Если я в машинных кодах какой-то проект делал бы год, на языке программирования я мог бы сделать этот проект за месяц, то сейчас, используя эти математические пакеты, я могу тот же проект выполнить за сутки. Не говоря уже о том, что Mathcad, Maple, Mathematica позволяют нам очень просто искать ошибки, отлаживать программу. Программу можно написать за час, а искать ошибку в ней можно неделями. Где эта ошибка? Эти пакеты позволяют получать все промежуточные данные в том виде, в котором мы привыкли их видеть.
Работая с тем же Mathcad, мы можем часть задачи решить на языке С. И в свою очередь, работая с языками программирования можно перейти к машинным кодам. Мы не противопоставляем эти инструменты кто из них лучше, кто хуже.
Александр Костинский
Можно сказать, что пакеты - инструменты более высокого уровня?
Валерий Очков
Да. Это более интеллектуальные инструменты. Почему они имеют большой спрос?
Сфера образования. Сейчас большие деньги вкладываются в систему образования. И эти инструменты позволяют построить процесс образования совсем по-другому.
Интернет. Мы можем публиковать какие-то свои разработки. Например, я написал курс по своей частной дисциплине. Я могу его опубликовать в Интернете, и школьник в сельской школе, если у него есть выход в Интернет, может изучать тот или иной курс на сайте с полностью разобранными и решенными задачами.
Александр Костинский
Математические пакеты - плодотворная среда не только для вузовского, но я для школьного образования. К сожалению, ни один современный математический пакет не был включен в поставку для сельских школ.
Валерий Очков
Вы понимаете, что все современные математические программы стоят денег. Поэтому видимо выбирали не по принципу лучше-хуже, а то, что подешевле. Хотя скупой платит дважды, трижды, четырежды и так далее до бесконечности.
Александр Костинский
Тот же Mathcad при разовой покупке стоит чуть больше двухсот долларов. А, если это будет массовые государственные закупки, если будет идти речь о десяти тысячах пакетов для школьного образования, неужели же корпорация MathSoft www.mathsoft.com , если к ней обратятся с таким предложением, не пойдет навстречу? Ведь массовая закупка для среднего образования означает, что этот пакет будет востребован в университетах, а это означает, что продукт автоматически попадет в проектные учреждения, которые сами зарабатывают деньги и с которых уже компания может получить полную стоимость. Думаю, цена в таком случае может упасть на порядок до 20 долларов, ведь компания практически не несет никаких издержек на тиражирование и распространение продукта, она фактически продает лицензии.
Валерий Очков
Кстати, кроме Mathcad-а есть еще и школьная версия. Пакет называется StudyWorks www.studyworksonline.com (на сайте, посвященном программе, множество образовательных ресурсов для школьников). StudyWorks вообще стоит копейки. Поставляется на двух лазерных дисках, где помещен сам пакет: и символьная математика, и графики, и все он может считать. Но кроме того, там заложены сведения о всей школьной математике, физике, химии, астрономии, основах Интернета, биологии.
Александр Костинский
Это тоже продукт компании MathSoft?
Валерий Очков
Да. Пакет StudyWorks производится компанией MathSoft. Я знаю, что в Массачусетсе в штаб-квартире компании находятся два наших студента, и они помогают адаптировать этот пакет для Европы, включая, естественно, Россию. Поэтому надеюсь, что этот проект будет развиваться. Тем более, что это всемирный проект. У нас часто говорят: "Это пакет американский". Нет, это не американский пакет, это пакет всего мира, потому, что его разрабатывал весь мир, в том числе высока доля и наших программистов. Здесь у нас еще часто проявляются отблески борьбы с космополитизмом. Вот я сделаю свое, пусть оно будет кривое, но это - мое. А это американское не буду брать, но люди не понимают, что это уже мировая среда. У нас есть прекрасные пакеты, связанные с линейной алгеброй, связанные с построением графиков. Они намного лучше тех западных образцов, которые я видел. Но у нас не могут довести их до коммерческого вида.
Надо еще сказать, что многие математические пакеты поддерживаются в Интернете. В Интернете есть обширные чаты по этим пакетам. Тот же пакет StudyWorks. Школьник решает задачу. У него возникает вопрос, он не может ее решить. Он тут же задает вопрос в Интернете, проходит полчаса, и преподаватели отовсюду объясняют ему суть его проблемы. Это прекрасное обучение.
Александр Костинский
Это кстати ответ на мучительный вопрос: "Что такое дистанционное обучение?" Если у преподавателя и ученика есть богатая возможностями образовательная среда...
Валерий Очков
И не надо под этой средой подразумевать просто общение по электронной почте преподавателя и студента. Дистанционное образование - это когда я могу открывать любые электронные учебники, могу задавать вопросы любому преподавателю как в России, так и за границей, и он мне толково все объяснит. Другие люди тоже смотрят на сайте, что у меня был вопрос, на который я получил ответ, и его уже не надо второй раз задавать. Таким образом, в Интернете появляется совершенно новая образовательная среда. Очень много уже подготовлено программных инструментов и средств для публикации электронных учебников и технических решений в сети Интернет. Это очень удобно. Если вы обнаружите слабое место в электронном учебнике, вы можете его исправить. В нем есть вопросы-ответы, то есть развивается и учебник и задачник и аппарат для решения задач.
Александр Костинский
Интернет, как средство связи, в данном случае, и такие пакеты как Mathcad, MatLAB, Mathematica являются творческой средой естественных дисциплин, как для ученика, так и для учителя, средой, где происходит накопление глобальных знаний, подобно науке. Но в таком случае должен измениться и взгляд на информатику, как таковую.
Валерий Очков
Да. Это пошло еще со старых школьных времен, когда у нас многие информатику сводили к программированию. Это не так. Информатика сейчас - одна из ведущих дисциплин. На занятиях по информатике студентов учат не тому, что нужно будущему специалисту, а тому, чему сам преподаватель учился двадцать лет назад. Это наша и беда и вина. Первое занятие по информатике - форматы ввода-вывода на Фортране. Сразу результат: одной половине студентов это неинтересно, другой - непонятно.
Александр Костинский
Формальное образование.
Валерий Очков
Да, формальное образование. Я могу научить студента программировать, хотя он никогда не будет программистом. Программист - это как скрипач. Нужно иметь особый талант. На скрипке мало кто может играть, только те, кто имеет талант. То же самое и в программировании. Научить всех подряд играть на скрипке невозможно. Я спрашиваю у студентов: "Что нужно в первую очередь получать от занятий?" Они мне кричат: "Знания, навыки!". Нет, удовольствие. Если от занятий нет удовольствия, то это не занятия, а мука. И математические пакеты позволяют кардинально изменить курс информатики. Например, можно привязать курс информатики к математике, физике, химии и на занятиях по информатике решать реальные содержательные задачи по смежным дисциплинам.
Александр Костинский
То есть, сосредоточиться на задачах, а не на технике их решения.
Валерий Очков
И потом уже на старших курсах мы должны дать ребятам возможность либо благодаря лекциям, либо благодаря самообразованию понять, что можно более детально изучать программирование для совершенствования расчетов, когда не хватает встроенных в пакеты инструментов. Я могу создать свой собственный новый инструмент с помощью того же самого программирования.
Александр Костинский
В линейке математических компьютерных устройств раньше был пробел. Для того, чтобы решить совсем простую задачу есть калькулятор. Для того, чтобы решить сложную задачу (как раньше, так и сейчас), действительно сложную масштабную задачу, нужно использовать языки программирования. А огромная территория между сверхсложными и сверхпростыми задачами была незанятой, и человек для решения простой задачи был вынужден писать непростую программу. А сейчас эти математические пакеты стали неким чудом, заполнившем этот пробел. Кусочек искусственного интеллекта.
Валерий Очков
Да. Вы правы. У нас много специалистов, которые разработали свои расчетные методики в физике, химии и так далее. Очень редко можно найти специалиста в своей области знаний, который бы хорошо знал программирование, который бы мог создать хорошую реальную программу. Как правило, в этом случае между специалистом и компьютером вставал кто? Программист, который не понимал суть задачи. Это было мучение, а не решение задачи. А вот пакеты Mathcad, Maple, Mathematica, MatLAB позволяют убрать программиста. То есть специалист может свою дисциплину быстро переложить на компьютер, не прибегая к услугам программиста. Именно эти пакеты позволяют людям быстро освоить компьютер и решать свои задачи.
Александр Костинский
Потому, что в них вид формул тот же, как и написанный руками.
Валерий Очков
Да формулы ввел, тут же график построил. Посмотрел, а-а, график у меня неправильный. Где-то у меня ошибочка, нужно было возвести не в куб, а в квадрат. Я подправил, это была опечатка, и у меня получилась все нормально. Вот график. Вижу минимум, максимум, вижу корень уравнения и могу задачу решать. Можно уточнять без проблем и так далее.
Александр Костинский
Говорил Валерий Очков, доцент Московского энергетического института.
Пожалуй, самая полная и разнообразная информация о современных математических пакетах, книги, руководства, множество написанных в этих средах материалов помещаются на сайте www.exponenta.ru , который создан и поддерживается сотрудниками компании SoftLine www.softline.ru , официально продающей на российском рынке эти пакеты.
Мария Бессонова
Сайт www.exponenta.ru создан для поддержки преподавания математики в основном в технических вузах. Посещаемость сайта около 600-700 человек в день и в основном это студенты технических вузов.
Александр Костинский
Есть ли какое-то сообщество, комьюнити?
Мария Бессонова
Да, есть. Самые большие разделы на нашем сайте, разделы "Методические разработки" и "Банк задач" как раз созданы по материалам, присланным нам преподавателями и студентами из разных городов страны. Они сделаны теми и другими в математических пакетах и присланы к нам на сайт. Они открыты для просмотра, скачивания и так далее.
Александр Костинский
Пользуются этим студенты?
Мария Бессонова
Некоторые преподаватели просто присылают к нам на сайт свои курсы и направляют сюда студентов, которые точно ими пользуются.
Александр Костинский
Какие основные задачи сайта?
Мария Бессонова
Главная цель - показать, каким образом можно решать естественнонаучные задачи с помощью математических пакетов, с помощью компьютера.
Александр Костинский
Какой наиболее популярный пакет из тех, что у вас есть?
Мария Бессонова
Широко на нашем сайте представлены четыре пакета: Mathcad, MatLAB, Maple и Mathematica. Самый популярный из них - Mathcad. Он пользуется популярностью у преподавателей и, следовательно, у студентов. Mathcad имеет самый простой интерфейс, с ним проще всего работать и студенты быстрее его осваивают. Практически с первого занятия, включив компьютер, студент может что-то реальное делать. Для этого не надо специально учиться, как брать интеграл, сумму, как писать команды, как им пользоваться.
Александр Костинский
Могут ли школьники применять эти пакеты?
Мария Бессонова
Самой большой сложностью будет то, что они не русифицированы, все они на английском языке. Их вообще можно использовать как калькуляторы. На них можно делать и очень простые вещи и школьники, конечно, могут ими пользоваться.
Александр Костинский
Но в пакетах есть и непростые вещи, нужные школьникам, например, разложение на множители, интегрирование, нахождение производных, что проходят уже в старших классах.
Мария Бессонова
Имея ввиду простые вещи, я включаю сюда и сложные функции, потому что эти пакеты, действительно обладают очень большими возможностями и такие вещи, как интегрирование, суммирование, это для них - элементарное действие.
Александр Костинский
Продолжает Светлана Зайцева, руководитель научного отдела компании SoftLine.
Светлана Зайцева
На кафедрах, где преподаватели ведут курсы по математическим дисциплинам, используются математические пакеты, в частности Mathcad. Опыт преподавания показывает, что он очень прост для освоения студентами. Они достаточно бойко в нем работают. Им нравится работать с пакетами, поскольку это современная среда для вычислений.
Александр Костинский
А какие у пакетов ощутимые преимущества по сравнению с научным калькулятором?
Светлана Зайцева
В любых математических пакетах в их ядре находятся алгоритмы всех стандартных задач математического анализа, линейной алгебры. Для того, чтобы вычислить обратную матрицу в пакете необходимо сделать только одно действие. Чтобы проделать тоже самое на бумаге нужно потратить серьезное время.
Александр Костинский
Как широко распространены эти пакеты?
Светлана Зайцева
По статистике общения с нашими пользователями, которые нам пишут по электронной почте, пользуются этими математическими инструментами почти все города и все вузы России. Самый распространенный в студенческой среде пакет - Mathcad.
Александр Костинский
В основном это студенты технических вузов?
Светлана Зайцева
В основном да, но есть, конечно, и биологи, химики. К нам на сайт обращаются иногда и школьники. Этих обращений не так много, но тем ни менее они что-то спрашивают: как пакет применить, как пример посчитать. А мы стараемся помочь им.
Александр Костинский
Сегодняшние математические пакеты и Интернет создают новую творческую среду, где складываются результаты ученых, преподавателей, студентов, аспирантов, школьников. Все они, формулируя и оформляя решения собственных задач на языках математических пакетов, не только экономят время, используя чужие наработки, но и позволяют другим развивать их достижения. Когда небольшие усилия разных людей имеют общую составляющую, согласуясь с единым стандартом, то очень часто возникает резонанс, коллективный рывок. Это другая модель создания интеллектуального продукта, отличающаяся от модели жестко конкурирующих компаний, разработанной в ортодоксальной либеральной экономике. Не только конкуренция, но и сотрудничество часто приводит к поразительным результатам, продвигая целые отрасли человеческой деятельности.
Все ссылки в тексте программ ведут на страницы лиц и организаций, не связанных с радио "Свобода"; редакция не несет ответственности за содержание этих страниц.
